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        章節組卷
        高中數學 · 章節目錄
        高中數學
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        難度:
        使用次數:117
        更新時間:2022-02-23
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        1.

        排一張有 6 個歌唱節目和 5 個舞蹈節日的演出節目單 .

        (1) 任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種?

        (2) 歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種?

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        題型:解答題
        知識點:計數原理
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        【答案】

        (1)

        (2)

        【解析】

        【分析】

        (1) 用插空法,現排唱歌,利用產生的空排跳舞;

        2 )先排唱歌再排舞蹈 .

        (1)

        解:先排歌唱節目有 種,歌唱節目之間以及兩端共有 7 個空位,從中選 5 個放入舞蹈節目,共有 種方法,所以任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有 種方法 .

        (2)

        解:先排舞蹈節目有 種方法,在舞蹈節目之間以及兩端共有 6 個空位,恰好供 6 個歌唱節目放入 . 所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有 種方法 .

        =
        難度:
        使用次數:222
        更新時間:2022-02-23
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        2.

        定義離心率是 的橢圓為 黃金橢圓 ”. 已知橢圓 黃金橢圓 ,則 _________. 黃金橢圓 兩個焦點分別為 、 , P 為橢圓 C 上的異于頂點的任意一點,點 M 的內心,連接 并延長交 于點 N ,則 ________.

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        題型:填空題
        知識點:圓錐曲線與方程
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        【答案】

        【解析】

        【分析】

        第一空,直接套入 黃金橢圓 新定義即可,第二空,從內切圓入手,找到等量關系 ,進而得到 ,求解即可.

        【詳解】

        由題, ,所以

        如圖,連接 ,設 內切圓半徑為 ,

        ,即 ,

        ,

        ,

        ,

        故答案為: ;

        【點睛】

        本題從新定義出發,第一空直接套用定義可得答案,第二空升華,需要在理解新定義的基礎上,借助內切圓的相關公式求解,層層遞進,是一道好題.關鍵點在于找到 這一關系.

        =
        難度:
        使用次數:143
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        3.

        如圖所示,過拋物線 的焦點 F 的直線依次交拋物線及準線于點 A , B , C . ,且 ,則拋物線的方程為(

        A B C D

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        題型:選擇題
        知識點:圓錐曲線與方程
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        【答案】

        A

        【解析】

        【分析】

        分別過點 作準線的垂線,分別交準線于點 , , ,推出 ;根據 ,進而推導出 ,結合拋物線定義求出 ;最后由相似比推導出 ,即可求出拋物線的方程 .

        【詳解】

        如圖分別過點 作準線的垂線,分別交準線于點 , , 交于 .

        , ,

        ,由拋物線定義得: ,

        在直角三角形 中, ,

        , ,

        ,

        ,

        ,

        , ,

        ,即 ,

        ,

        所以拋物線的方程為 .

        故選: A

        =
        難度:
        使用次數:266
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        4.

        如圖,在四棱錐 中,平面 平面 , , , 是邊長為 的等邊三角形, 是以 為斜邊的等腰直角三角形,點 為線段 的中點 .

        (1) 證明: 平面 ;

        (2) 求直線 與平面 所成角的正弦值 .

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        題型:解答題
        知識點:點 直線 平面之間的位置
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        【答案】

        (1) 證明見解析;

        (2) .

        【解析】

        【分析】

        1 )取 的中點 ,連接 , ,證明 兩兩垂直,如圖建系,求出 的坐標以及平面 的一個法向量 ,證明 結合 ,即可求證;

        2 )求出 的坐標以及平面 的法向量 ,根據空間向量夾角公式計算即可求解 .

        (1)

        如圖:取 的中點 ,連接 , ,

        因為 是邊長為 的等邊三角形, 是以 為斜邊的等腰直角三角形,

        可得 , ,

        因為面 ,面 , , ,

        所以 平面 ,因為 ,所以 ,

        可得 兩兩垂直,分別以 所在的直線為 軸建立空間直角坐標系,則 , , , , , ,

        所以 , , ,

        設平面 的一個法向量 ,

        ,可得 ,令 ,則 ,所以 ,

        因為 ,所以 ,

        因為 ,所以 平面 .

        (2)

        , , ,

        設平面 的一個法向量 ,

        ,令 , , ,

        所以 ,

        設直線 與平面 所成角為 ,

        .

        所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .

        =
        難度:
        使用次數:120
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        5.

        中秋節吃月餅是我國的傳統習俗,若一盤中共有兩種月餅,其中 5 塊五仁月餅? 6 塊棗泥月餅,現從盤中任取 3 塊,在取到的都是同種月餅的條件下,都是五仁月餅的概率是(

        A B C D

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        題型:選擇題
        知識點:概率
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        【答案】

        C

        【解析】

        【分析】

        分別求出取到 3 塊月餅都是同種月餅和取到 3 塊月餅都是五仁月餅的種數,再根據概率公式即可得解 .

        【詳解】

        解:由題意可得,取到 3 塊月餅都是同種月餅有 種情況,

        取到 3 塊月餅都是五仁月餅有 種情況,

        所以在取到的都是同種月餅的條件下,都是五仁月餅的概率是 .

        故選: C.

        =
        難度:
        使用次數:266
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        6.

        新型冠狀病毒( 2019- NCoV )因 2019 年武漢病毒性肺炎病例而被發現, 2020 1 12 日被世界衛生組織命名,為考察某種藥物預防該疾病的效果,進行動物試驗,得到如下列聯表:

        患病

        未患病

        總計

        服用藥

        10

        45

        55

        未服藥

        20

        30

        50

        總計

        30

        75

        105

        下列說法正確的是(

        參考數據: ,

        0.05

        0.01

        3.841

        6.635

        A .有 95% 的把握認為藥物有效

        B .有 95% 的把握認為藥物無效

        C .在犯錯誤的概率不超過 0.05 的前提下認為藥物無效

        D .在犯錯誤的概率不超過 0.01 的前提下認為藥物有效

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        題型:選擇題
        知識點:統計案例
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        【答案】

        A

        【解析】

        【分析】

        根據 列聯表計算 ,對照臨界值即可得出結論.

        【詳解】

        根據 列聯表,計算 ,

        由臨界值表可知,

        95% 的把握認為藥物有效 , A 正確

        故選: A

        =
        難度:
        使用次數:228
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        7.

        當曲線 與直線 有兩個不同的交點時,實數 k 的取值范圍是 ____________

        查看答案
        題型:填空題
        知識點:直線與方程
        復制
        試題詳情
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        【答案】

        【解析】

        【分析】

        求出直線恒過的定點,結合曲線 的圖象,數形結合,找出臨界狀態,即可求得 的取值范圍 .

        【詳解】

        因為 ,故可得 ,

        其表示圓心為 ,半徑為 的圓的上半部分;

        因為 ,即 ,

        其表示過點 ,且斜率為 的直線 .

        在同一坐標系下作圖如下:

        不妨設點 , 直線斜率為 ,且過點 與圓相切的直線斜率為

        數形結合可知:要使得曲線 與直線 有兩個不同的交點,

        只需 即可 .

        容易知: ;

        不妨設過點 相切的直線方程為 ,

        則由直線與圓相切可得: ,解得 ,

        .

        故答案為: .

        =
        難度:
        使用次數:133
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        8.

        已知圓 C 1 的圓心為坐標原點,且與直線 相切.

        (1) 求圓 C 1 的標準方程;

        (2) 若直線 l 過點 M 1 , 2 ),直線 l 被圓 C 1 所截得的弦長為 ,求直線 l 的方程.

        查看答案
        題型:解答題
        知識點:圓與方程
        復制
        試題詳情
        糾錯
        【答案】

        (1)

        (2)

        【解析】

        【分析】

        1 )由圓心到直線的距離求得半徑,可得圓 C 1 的標準方程;

        2 )當直線的斜率不存在時,求得直線 l 被圓 C 1 所截得的弦長為 ,符合題意;當直線 l 的斜率存在時,設出直線方程,由已知弦長可得圓心到直線的距離,再由點到直線的距離公式列式求 k ,則直線方程可求.

        (1)

        原點 O 到直線 的距離為 ,

        C 1 的標準方程為 ;

        (2)

        當直線 l 的斜率不存在時,直線方程為 x 1 ,代入 ,

        ,即直線 l 被圓 C 1 所截得的弦長為 ,符合題意;

        當直線 l 的斜率存在時,設直線方程為 ,即

        直線 l 被圓 C 1 所截得的弦長為 ,圓的半徑為 2 ,

        則圓心到直線 l 的距離 ,解得

        直線 l 的方程為 ,即

        綜上,直線 l 的方程為

        =
        難度:
        使用次數:202
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        9.

        已知隨機變量 X 服從二項分布 X ~ B (4 , ) ,

        A B C D

        查看答案
        題型:選擇題
        知識點:概率
        復制
        試題詳情
        糾錯
        【答案】

        D

        【解析】

        【分析】

        利用二項分布概率計算公式,計算出正確選項 .

        【詳解】

        隨機變量 X 服從二項分布 X ~ B (4 , ) ,

        .

        故選: D.

        =
        難度:
        使用次數:120
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        10.

        直線 被圓 所截得的弦中,最短弦所在直線的一般方程是 __________

        查看答案
        題型:填空題
        知識點:直線與方程
        復制
        試題詳情
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        【答案】

        【解析】

        【分析】

        先求出直線 所過的定點,當該定點為弦的中點時弦長最短,利用點斜式求出直線方程,整理成一般式即可 .

        【詳解】

        ,

        ,解得

        即直線 過定點

        的圓心為 ,半徑為 ,

        最短弦所在直線的方程為

        整理得最短弦所在直線的一般方程是

        故答案為: .

        =
        難度:
        使用次數:108
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        11.

        下列命題中,正確的是(

        A .若 , 分別是平面 α , β 的法向量,則

        B .若 , 分別是平面 α , β 的法向量,則

        C .若 是平面 α 的法向量, 是直線 l 的方向向量, l 與平面 α 平行,則

        D .若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面不垂直

        查看答案
        題型:選擇題
        知識點:空間中的向量與立體幾何
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        試題詳情
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        【答案】

        BCD

        【解析】

        【分析】

        選項 A 中平面 α , β 可能平行或重合;選項 B ,兩個平面垂直則法向量互相垂直,選項是正確的;直線和平面平行,則直線和平面的法向量垂直,可得 C 也是正確的; D 選項是 B 中命題的逆否命題,所以 D 也是正確的 .

        【詳解】

        選項 A 中平面 α , β 可能平行或重合,所以選項 A 錯誤;

        選項 B ,兩個平面垂直則法向量互相垂直,即點積為 0 ,反之也成立,故 B 正確;

        選項 C ,直線和平面平行,則直線和平面的法向量垂直,即法向量點積為 0 ,故 C 正確;

        選項 D ,由 B 選項知,平面垂直和法向量垂直是等價的, D 選項是其逆否命題,

        D 是正確的 .

        故選: BCD

        =
        難度:
        使用次數:189
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        12.

        某市 2016 年至 2020 年新能源汽車年銷量 y (單位:百臺)與年份代號 x 的數據如下表:

        年份

        2016

        2017

        2018

        2019

        2020

        年份代號 x

        0

        1

        2

        3

        4

        年銷量 y

        10

        15

        m

        30

        35

        若根據表中的數據用最小二乘法求得 y 關于 x 的回歸直線方程為 ,則表中 m 的值為( A 22 B 20 C 30 D 32.5

        查看答案
        題型:選擇題
        知識點:統計案例
        復制
        試題詳情
        糾錯
        【答案】

        B

        【解析】

        【分析】

        求出樣本中心的橫坐標,代入回歸直線方程,求出樣本中心的縱坐標,然后求解 即可.

        【詳解】

        因為 ,

        代入回歸直線方程為 ,

        所以, ,

        于是得 ,解得

        故選: B

        =
        難度:
        使用次數:152
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        13.

        則下列說法正確的是(

        A .在回歸分析中,殘差的平方和越大,模型的擬合效果越好;

        B .在殘差圖中,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內,說明選用的模型比較合適;

        C .若數據 , , , 的平均數為 1 ,則 , , , 的平均數為 2 ;

        D .對分類變量 x y 的隨機變量 來說, 越大,判斷 x y 有關系 的把握越大 .

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        題型:選擇題
        知識點:統計案例
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        【答案】

        BCD

        【解析】

        【分析】

        根據殘差的意義,可判斷 AB ,根據數據的平均的計算公式,可判斷 C ,根據獨立性檢驗中觀測值 的意義,可判斷 D.

        【詳解】

        根據殘差的意義知,殘差的平方和越小,模型的擬合效果越好,故 A 錯誤;

        由殘差的意義知,殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區域內,說明選用的模型比較合適,故 B 正確;

        若數據 , , , 的平均數為 1 ,則 , , , 的平均數也擴大為原來的 2 倍,即平均數為 2 ,故 C 正確;

        對分類變量 的隨機變量 來說, 越大,判斷 有關系 的把握越大,故 D 正確.

        故選: BCD

        =
        難度:
        使用次數:150
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        14.

        M 在圓 上,點 N 在直線 上,則 | MN | 的最小值是(

        A B C D 1

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        題型:選擇題
        知識點:直線與方程
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        【答案】

        C

        【解析】

        【分析】

        根據題意可知圓心 ,又由于線外一點到已知直線的垂線段最短,結合點到直線的距離公式,即可求出結果 .

        【詳解】

        由題意可知,圓心 ,半徑為 ,

        所以圓心 的距離為 ,

        所以 的最小值為 .

        故選: C.

        =
        難度:
        使用次數:104
        更新時間:2022-02-23
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        15.

        如圖,正方體 的棱長為 1 , E 的中點 . 下列說法正確的是(

        A .直線 與平面 所成角是 B .在直線 上存在點 F ,使 EF 平面

        C .直線 與直線 AD 是異面直線 D .點 B 到平面 的距離是

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        題型:選擇題
        知識點:點 直線 平面之間的位置
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        【答案】

        ABD

        【解析】

        【分析】

        連接 于點 ,則可得到直線 與平面 所成角,求出這個角,可判斷 A ,取 的交點為 ,利用線面垂直的判定定理可判斷 B ,證明 在平面 上,可以判斷 C ; 的長就是點 B 到平面 的距離,可判斷 D.

        【詳解】

        如圖,由 中點,則它也是 的中點,連接 ,

        共面,顯然 在這個平面內, 共面, C 錯;

        連接 , , 的交點為 ,則 平面 ,連接 , ,

        正方體中, 分別是 中點,則 ,

        平面 , 平面 ,

        ,又 , 是平面 內兩相交直線,

        平面 ,

        平面 ,即 平面 , B 正確;

        于點 ,連接 ,則 是直線 與平面 所成角,

        在直角三角形 中, ,

        , A 正確;

        由上可知點 B 到平面 的距離就是 , D 正確 .

        故選: ABD.

        =
        難度:
        使用次數:289
        更新時間:2022-02-23
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        16.

        某企業有 4 個分廠,新培訓了一批 6 名技術人員,將這 6 名技術人員分配到各分廠,要求每個分廠至少 1 人,則不同的分配方案種數為 ________.

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        題型:填空題
        知識點:計數原理
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        【答案】

        1560

        【解析】

        【分析】

        先把 6 名技術人員分成 4 組,每組至少一人,有兩種情況:( 1 4 個組的人數按 3,1,1,1 分配,( 2 4 個組的人數為 2,2,1,1 ,求出所有的分組方法,然后再把 4 個組的人分給 4 個分廠,從而可求得答案

        【詳解】

        先把 6 名技術人員分成 4 組,每組至少一人 .

        1 )若 4 個組的人數按 3,1,1,1 分配,

        則不同的分配方案有 ( ).

        2 )若 4 個組的人數為 2,2,1,1 ,

        則不同的分配方案有 ( ).

        故所有分組方法共有 20 45 65( ).

        再把 4 個組的人分給 4 個分廠,不同的方法有 ( ).

        故答案為: 1560

        =
        難度:
        使用次數:255
        更新時間:2022-02-23
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        17.

        2021 11” 網上購物節期間,某電商平臺銷售了一款新手機,現在該電商為調查這款手機使用后的 滿意度 ,從購買了該款手機的顧客中抽取 1000 人,每人在規定區間 內給出一個 滿意度 分數,評分在 60 分以下的視為 不滿意 ,在 60 分到 80 分之間(含 60 分但不含 80 分)的視為 基本滿意 ,在 80 分及以上的視為 非常滿意 ”. 現將他們的評分按 , , , , 分成 5 組,得到如圖所示的頻率分布直方圖 .

        (1) 求這 1000 人中對該款手機 非常滿意 的人數和 滿意度 評分的中位數的估計值 .

        (2) 若按 滿意度 采用分層抽樣的方法從這 1000 名被調查者中抽取 20 人,再從這 20 人中隨機抽取 3 人,記這 3 人中對該款手機 非常滿意 的人數為 X .

        寫出 X 的分布列,并求數學期望 ;

        若被抽取的這 3 人中對該款手機 非常滿意 的被調查者將獲得 100 元話費補貼,其他被調查者將獲得 50 元話費補貼,請求出這 3 人將獲得的話費補貼總額的期望 .

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        題型:解答題
        知識點:統計案例
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        【答案】

        (1)65

        (2)① 分布列答案見解析,數學期望: ; ②172.5

        【解析】

        【分析】

        1 )由圖可知中位數在第二組,則設中位數為 ,從而得 ,解方程可得答案,

        2 由題意可求得 不滿意 基本滿意 的用戶應抽取 17 人, 非常滿意 的用戶應抽取 3 人,則 X 的可能取值分別為 0 , 1 , 2 , 3 ,然后求出對應的概率,從而可求得其分布列和期望, 設這 3 人獲得的話費補貼總額為 Y ,則 ,然后由 結合期望的性質可求得答案

        (1)

        1000 人中對該款手機 非常滿意 的人數為 .

        由頻率分布直方圖可得,得分的中位數為 ,則 ,解得 ,所以中位數為 65 .

        (2)

        若按 滿意度 采用分層抽樣的方法從這 1000 名被調查者中抽取 20 人,則 不滿意 基本滿意 的用戶應抽取 人, 非常滿意 的用戶應抽取 人,

        X 的可能取值分別為 0 , 1 , 2 , 3 ,

        , ,

        , ,

        X 的分布列為

        X

        0

        1

        2

        3

        P

        .

        設這 3 人獲得的話費補貼總額為 Y ,則 (元),

        所以 元,

        故這 3 人將獲得的話費補貼總額的期望為 172.5 .

        =
        難度:
        使用次數:281
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        18.

        近年來,由于耕地面積的緊張,化肥的施用量呈增加趨勢,一方面,化肥的施用對糧食增產增收起到了關健作用,另一方面,也成為環境污染,空氣污染,土壤污染的重要來源之一 . 如何合理地施用化肥,使其最大程度地促進糧食增產,減少對周圍環境的污染成為需要解決的重要問題 . 研究糧食產量與化肥施用量的關系,成為解決上述問題的前提 . 某研究團隊收集了 10 組化肥施用量和糧食畝產量的數據并對這些數據作了初步處理,得到了如圖所示的散點圖及一些統計量的值,化肥施用量為 x (單位:公斤),糧食畝產量為 y (單位:百公斤) .

        參考數據:

        650

        91.5

        52.5

        1478.6

        30.5

        15

        15

        46.5

        表中 .

        (1) 根據散點圖判斷 ,哪一個適宜作為糧食畝產量 y 關于化肥施用量 x 的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由);

        (2) 根據( 1 )的判斷結果及表中數據,建立 y 關于 x 的回歸方程;并預測化肥施用量為 27 公斤時,糧食畝產量 y 的值;

        (3) 經生產技術提高后,該化肥的有效率 Z 大幅提高,經試驗統計得 Z 大致服從正態分布 N ),那這種化肥的有效率超過 58% 的概率約為多少?

        附: 對于一組數據 ,其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 ; 若隨機變量 ,則有 , ; .

        查看答案
        題型:解答題
        知識點:統計案例
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        【答案】

        (1) ;

        (2) ; 810 公斤;

        (3) .

        【解析】

        【分析】

        1 )根據散點圖的變化趨勢,結合給定模型的性質直接判斷適合的模型即可 .

        2 )將( 1 )中模型取對得 ,結合題設及表格數據求 及參數 ,進而可得參數 c ,即可確定回歸方程,進而估計 時糧食畝產量 y 的值 .

        3 )由題設知 ,結合特殊區間的概率值及正態分布的對稱性求 即可 .

        (1)

        根據散點圖,呈現非線性的變化趨勢,故 更適合作為 關于 的回歸方程類型 .

        (2)

        兩邊取對數,得 ,即 ,

        由表中數據得: , ,

        ,則 ,

        關于 的回歸方程為 ,

        時, ,

        當化肥施用量為 27 公斤時,糧食畝產量約為 810 公斤 .

        (3)

        依題意, ,則有 ,

        ,則 ,

        這種化肥的有效率超過 58% 的概率約為 .

        =
        難度:
        使用次數:226
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        19.

        雙曲線的光學性質為:如圖 ,從雙曲線右焦點 發出的光線經雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經過左焦點 . 我國首先研制成功的 雙曲線新聞燈 ,就是利用了雙曲線的這個光學性質 . 雙曲線新聞燈 的軸截面是雙曲線的一部分,如圖 ,其方程為 , 為其左、右焦點,若從右焦點 發出的光線經雙曲線上的點 和點 反射后,滿足 , ,則該雙曲線的離心率為(

        A B C D

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        題型:選擇題
        知識點:圓錐曲線與方程
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        【答案】

        C

        【解析】

        【分析】

        連接 ,已知條件為 , ,設 ,由雙曲線定義表示出 ,用已知正切值求出 ,再由雙曲線定義得 ,這樣可由勾股定理求出 (用 表示),然后在 中,應用勾股定理得出 的關系,求得離心率.

        【詳解】

        易知 共線, 共線,如圖,

        , ,則 ,

        得, ,

        ,

        所以 , ,

        所以 ,

        所以 ,

        ,

        因為 ,故解得 ,

        ,

        中, ,即 ,所以

        故選: C

        =
        難度:
        使用次數:122
        更新時間:2022-02-23
        加入組卷
        20.

        已知直線 與直線 平行,則實數 a 的值為(

        A 1 B C 1 D

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        題型:選擇題
        知識點:直線與方程
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        【答案】

        A

        【解析】

        【分析】

        根據兩直線平行的條件列方程,化簡求得 ,檢驗后確定正確答案 .

        【詳解】

        由于直線 與直線 平行,

        所以 , ,

        時,兩直線方程都為 ,即兩直線重合,所以 不符合題意 .

        經檢驗可知 符合題意 .

        故選: A

        =
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