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        點 直線 平面之間的位置
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        使用次數:266
        更新時間:2022-02-23
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        1.

        如圖,在四棱錐 中,平面 平面 , , , 是邊長為 的等邊三角形, 是以 為斜邊的等腰直角三角形,點 為線段 的中點 .

        (1) 證明: 平面 ;

        (2) 求直線 與平面 所成角的正弦值 .

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        題型:解答題
        知識點:點 直線 平面之間的位置
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        【答案】

        (1) 證明見解析;

        (2) .

        【解析】

        【分析】

        1 )取 的中點 ,連接 , ,證明 兩兩垂直,如圖建系,求出 的坐標以及平面 的一個法向量 ,證明 結合 ,即可求證;

        2 )求出 的坐標以及平面 的法向量 ,根據空間向量夾角公式計算即可求解 .

        (1)

        如圖:取 的中點 ,連接 , ,

        因為 是邊長為 的等邊三角形, 是以 為斜邊的等腰直角三角形,

        可得 , ,

        因為面 ,面 , , ,

        所以 平面 ,因為 ,所以 ,

        可得 兩兩垂直,分別以 所在的直線為 軸建立空間直角坐標系,則 , , , , , ,

        所以 , , ,

        設平面 的一個法向量 ,

        ,可得 ,令 ,則 ,所以 ,

        因為 ,所以 ,

        因為 ,所以 平面 .

        (2)

        , , ,

        設平面 的一個法向量 ,

        ,令 , , ,

        所以 ,

        設直線 與平面 所成角為 ,

        .

        所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .

        =
        考點梳理:
        根據可圈可點權威老師分析,試題“ ”主要考查你對 平面的基本性質 等考點的理解。關于這些考點的“資料梳理”如下:
        ◎ 平面的基本性質的定義

        平面的概念:

        平面是無限伸展的;

        平面的表示:

        通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個銳角內);也可以用兩個相對頂點的字母來表示,如平面BC。

        平面的畫法:

        ①通常把水平的平面畫成銳角為45。,橫邊長等于其鄰邊長2倍的平行四邊形,如圖1所示.②如果一個平面被另一個平面擋住,則被遮擋的部分用虛線畫出來,如圖2所示,

        ◎ 平面的基本性質的知識擴展
        1、平面的概念:平面是無限伸展的;
        2、平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個銳角內);也可以用兩個相對頂點的字母來表示,如平面BC。
        3、平面的性質:
        (1)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內。
        用符號語言表示公理1:。
        應用:判斷直線是否在平面內
        (2)公理2:過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面。
        推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。
        公理2及其推論作用:它是空間內確定平面的依據。
        (3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
        符號語言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
        公理3的作用:①它是判定兩個平面相交的方法;
        ②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系:交線必過公共點;
        ③它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據。
        ◎ 平面的基本性質的特性

        平面的性質:

        (1)公理1:如果一條直線的兩點在一個平面內,那么這條直線在這個平面內。
        用符號語言表示公理1:。
        應用:判斷直線是否在平面內
        (2)公理2:過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面。
        推論:一直線和直線外一點確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。
        公理2及其推論作用:它是空間內確定平面的依據。
        (3)公理3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線。
        符號語言:P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l。
        公理3的作用:①它是判定兩個平面相交的方法;
        ②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系:交線必過公共點;
        ③它可以判斷點在直線上,即證若干個點共線的重要依據。

        ◎ 平面的基本性質的知識點撥

        立體幾何問題的重要方法:

        根據平面的基本性質,把空間圖形轉化為平面圖形來解決,這是立體幾何中解決問題的重要思想方法.通常要解決以下四類問題:
        (l)證明空間三點共線問題:證明這類問題一般根據公理3證明這些點都在兩個平面的交線上,即先確定出某兩個點在某兩個平面上,再證明第三個點既在第一個平面內,又在第二個平面內,當然必在兩平面的交線上.
        (2)證明空間三線共點問題:證明這類問題一般根據公理l和公理3,把其中一條直線作為分別通過其余麗條直線的兩個平面的交線,然后證明兩條直線的交點在此直線上.
        (3)證明空間點共面問題:可根據公理2,先取三點(不共線的三點)確定一個平面,再證其他各點都在這個平面內.
        (4)證明空間直線共面問題一般根據公理2及推論,先取兩條(相交或平行)直線確定一個平面,再證其余直線在這個平面內,或者由這些直線中取適當的兩條確定若干個平面,再一一確定這些平面重合.

        基本性質2及其三個推論可以用來證明點、線共面,證明此類問題,常用的方法有:

        ①納入法:先利用基本性質2及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內,再證明其余的點和直線也在這個確定的平面內.
        ②同一法:先利用基本性質2及其三個推論證明某些點和直線在一個確定的平面內,另一些點和直線在另外一個確定的平面內,……,最后證明這些平面重合.
        ③反證法:可以假設這些點和直線不在同一個平面內,然后通過推理,找出矛盾,從而否定假設,肯定結論.

        ◎ 平面的基本性質的知識拓展

        點線面位置關系的符號語言如下表:

        ◎ 平面的基本性質的教學目標
        1、理解空間直線、平面位置關系的定義。
        2、了解如下可以作為推理依據的公理和定理。
        3、會判斷直線與平面、平面與平面的位置關系。
        ◎ 平面的基本性質的考試要求
        能力要求:知道
        課時要求:40
        考試頻率:選考
        分值比重:3

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        知識點:點 直線 平面之間的位置
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