如圖，在四棱錐 中，平面 平面 ， ， ， 是邊長為 的等邊三角形， 是以 為斜邊的等腰直角三角形，點 為線段 的中點 .

(1) 證明： 平面 ；

(2) 求直線 與平面 所成角的正弦值 .

答案

(1) 證明見解析；

(2) .

【解析】

【分析】

（ 1 ）取 的中點 ，連接 ， ，證明 兩兩垂直，如圖建系，求出 的坐標以及平面 的一個法向量 ，證明 結合 面 ，即可求證；

（ 2 ）求出 的坐標以及平面 的法向量 ，根據空間向量夾角公式計算即可求解 .

(1)

如圖：取 的中點 ，連接 ， ，

因為 是邊長為 的等邊三角形， 是以 為斜邊的等腰直角三角形，

可得 ， ，

因為面 面 ，面 面 ， ， 面 ，

所以 平面 ，因為 面 ，所以 ，

可得 兩兩垂直，分別以 所在的直線為 軸建立空間直角坐標系，則 ， ， ， ， ， ，

所以 ， ， ，

設平面 的一個法向量 ，

由 ，可得 ，令 ，則 ，所以 ，

因為 ，所以 ，

因為 面 ，所以 平面 .

(2)

， ， ，

設平面 的一個法向量 ，

由 ，令 ， ， ，

所以 ，

設直線 與平面 所成角為 ，

則 .

所以直線 與平面 所成角的正弦值為 .