在 2021 年 “ 雙 11” 網上購物節期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現在該電商為調查這款手機使用后的 “ 滿意度 ” ，從購買了該款手機的顧客中抽取 1000 人，每人在規定區間 內給出一個 “ 滿意度 ” 分數，評分在 60 分以下的視為 “ 不滿意 ” ，在 60 分到 80 分之間（含 60 分但不含 80 分）的視為 “ 基本滿意 ” ，在 80 分及以上的視為 “ 非常滿意 ”. 現將他們的評分按 ， ， ， ， 分成 5 組，得到如圖所示的頻率分布直方圖 .

(1) 求這 1000 人中對該款手機 “ 非常滿意 ” 的人數和 “ 滿意度 ” 評分的中位數的估計值 .

(2) 若按 “ 滿意度 ” 采用分層抽樣的方法從這 1000 名被調查者中抽取 20 人，再從這 20 人中隨機抽取 3 人，記這 3 人中對該款手機 “ 非常滿意 ” 的人數為 X .

① 寫出 X 的分布列，并求數學期望 ；

② 若被抽取的這 3 人中對該款手機 “ 非常滿意 ” 的被調查者將獲得 100 元話費補貼，其他被調查者將獲得 50 元話費補貼，請求出這 3 人將獲得的話費補貼總額的期望 .

答案

(1)65 分

(2)① 分布列答案見解析，數學期望： ； ②172.5 元

【解析】

【分析】

（ 1 ）由圖可知中位數在第二組，則設中位數為 ，從而得 ，解方程可得答案，

（ 2 ） ① 由題意可求得 “ 不滿意 ” 與 “ 基本滿意 ” 的用戶應抽取 17 人， “ 非常滿意 ” 的用戶應抽取 3 人，則 X 的可能取值分別為 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，然后求出對應的概率，從而可求得其分布列和期望， ② 設這 3 人獲得的話費補貼總額為 Y ，則 ，然后由 ① 結合期望的性質可求得答案

(1)

這 1000 人中對該款手機 “ 非常滿意 ” 的人數為 .

由頻率分布直方圖可得，得分的中位數為 ，則 ，解得 ，所以中位數為 65 分 .

(2)

① 若按 “ 滿意度 ” 采用分層抽樣的方法從這 1000 名被調查者中抽取 20 人，則 “ 不滿意 ” 與 “ 基本滿意 ” 的用戶應抽取 人， “ 非常滿意 ” 的用戶應抽取 人，

X 的可能取值分別為 0 ， 1 ， 2 ， 3 ，

， ，

， ，

則 X 的分布列為

故 .

② 設這 3 人獲得的話費補貼總額為 Y ，則 （元），

所以 元，

故這 3 人將獲得的話費補貼總額的期望為 172.5 元 .